Índice

Universidad del Caribe · Escuela de Tecnología

Números Complejos y su Aplicación en la Ingeniería de Software

Matemática Básica I · Unidad 4

Alvaro Acevedo
Zeniff Carderon
Julio Castillo
Noe Carrion

Docente: Fabio Evelin Ogando Gervacio

Santo Domingo, R.D. — Marzo 2026

Vista General

Agenda de la Presentación

01

Introducción y Justificación

Contexto y relevancia del tema

Zeniff Carderon
02

Números Imaginarios y Unidad Imaginaria

Fundamentos teóricos

Zeniff Carderon
03

Conjuntos y Operaciones Complejas

Aritmética compleja y FFT

Noe Carrion
04

Fractales, Cripto, IA y Videojuegos

Aplicaciones en software

Alvaro Acevedo
05

Telecom, Robótica y Cuántica

Aplicaciones avanzadas

Julio Castillo
06

Conclusiones

Síntesis y reflexiones

Julio Castillo
Zeniff Carderon
Sección 1

Introducción

Cuando escuchamos "números complejos", puede sonar abstracto. Pero la realidad es que están detrás de tecnologías que usamos todos los días.

  • 🎵La música que escuchamos en Spotify
  • 📸Los filtros de Instagram
  • 🎙️Siri, Alexa y asistentes de voz
  • 🎮Los gráficos de los videojuegos
Objetivo: Entender los números complejos y ver cómo se usan para construir software en la vida real.
Números
Complejos
FFT / Audio
MP3, Spotify
Fractales
Mandelbrot
Criptografía
RSA, Cuántica
IA
Redes neuronales
Gráficos 2D/3D
Unity, Unreal
Zeniff Carderon
Sección 2

Justificación

🎯

¿En qué consiste?

Investigación de la Unidad 4 (números complejos) con ejemplos y aplicaciones directas a la ingeniería de software. No es solo copiar definiciones, sino entender para qué sirven.

🎓

Relevancia Académica

Contextualizamos los números complejos dentro de problemas reales: procesamiento de señales, computación gráfica, seguridad informática.

🏢

Importancia Industrial

Empresas como Google, Apple, Meta, Spotify y Tesla utilizan algoritmos que dependen directamente de la aritmética de números complejos.

"Como futuros ingenieros de software, necesitamos saber que las matemáticas NO son algo separado de la programación."
Zeniff Carderon
Tema 3.1

Los Números Imaginarios

El problema

¿Qué pasa si intentamos resolver x² = −1?

No existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.

La solución

Los matemáticos inventaron un nuevo tipo de número: los números imaginarios.

Forma: bi donde b es un número real e i es la "unidad imaginaria".

Ejemplos: 3i, −5i, 0.7i

En software: La Transformada de Fourier usa números imaginarios internamente. Sin ellos, no existiría el formato MP3 ni los asistentes de voz.
Python 
# En Python, se usa 'j' en vez de 'i'
z = 3 + 4j
print(z)        # (3+4j)
print(z.real)   # 3.0
print(z.imag)   # 4.0
Dato curioso: Los ingenieros eléctricos usan j en vez de i porque i ya se usa para la corriente. Por eso Python también usa j.
Zeniff Carderon
Tema 3.2

La Unidad Imaginaria

i = √(−1)
equivalentemente: i² = −1

Ciclo de las potencias de i (se repite cada 4)

i¹ = i
90° rotación
→
i² = −1
180° rotación
→
i³ = −i
270° rotación
→
i⁴ = 1
360° = vuelta
En gráficos: Multiplicar un punto por i equivale a rotarlo 90° en la pantalla. Esto se usa en motores gráficos 2D, herramientas CAD y animaciones.
Parte II

Conjuntos y Operaciones
con Números Complejos

Ahora que conocemos los imaginarios, veamos cómo se combinan con los reales

Expone: Noe Carrion
Noe Carrion
Tema 3.3

Conjuntos de Números Complejos (a + bi)

z = a + bi
a = parte real  |  b = parte imaginaria
  • El conjunto de todos los números complejos se llama ℂ
  • Los complejos incluyen a todos los demás conjuntos numéricos
  • El número 5 es complejo: 5 + 0i
  • El número 3i también es complejo: 0 + 3i

Formas de escribir un número complejo:

Rectangular: z = a + bi (la más común)
Polar: z = r(cosθ + i·senθ)
Exponencial: z = r·e^(iθ) — la que usa la FFT
Plano Complejo Interactivo
+
Noe Carrion
Tema 3.4

Operaciones y Propiedades

Propiedades (como los reales)

  • Conmutativa: z₁ + z₂ = z₂ + z₁
  • Asociativa: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
  • Distributiva: z₁ · (z₂ + z₃) = z₁·z₂ + z₁·z₃
  • Elemento neutro: 0 para suma, 1 para multiplicación

Operaciones clave

Conjugado
z̄ = a − bi

Se "flipea" el signo de la parte imaginaria

Módulo
|z| = √(a² + b²)

Distancia al origen. En la FFT = amplitud

Argumento
θ = arctan(b/a)

El ángulo. En la FFT = fase de la señal

Noe Carrion
Tema 3.5

Suma, Resta, Multiplicación y División

➕ Suma

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
= 4 + 7i

➖ Resta

(a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
= 2 − 3i

✖️ Multiplicación

(ac−bd) + (ad+bc)i
= −1 + 22i

➗ División

Multiplicar por conjugado
= 0.68 + 0.16i

Calculadora Interactiva

z₁ = + i
z₂ = + i

Cambia los valores y mira los resultados actualizarse en tiempo real

¿Dónde se usan? La multiplicación compleja es el corazón de la FFT y los fractales. La suma se usa en superposición de señales.
Parte III

Aplicaciones en la
Ingeniería de Software

Ahora viene lo bueno: cómo los números complejos se aplican en el mundo real del software

Noe Carrion
Tema 4.1

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

La FFT toma una señal (como una grabación de audio) y la descompone en las frecuencias que la forman. Es como separar los instrumentos de una canción.

¿Dónde se usa?

  • 🎵MP3 / AAC: Elimina frecuencias inaudibles
  • 🎙️Siri / Alexa: Descomponen la voz en frecuencias
  • 📷JPEG: Usa variante de FFT para comprimir fotos
  • 🎧Ecualizadores: Ajustan frecuencias específicas
  • 🔍Shazam: Identifica canciones por patrones de frecuencia

Señal = suma de ondas simples → FFT las separa

Alvaro Acevedo
Tema 4.2

Fractales: El Conjunto de Mandelbrot

z(n+1) = z(n)² + c
donde z y c son números complejos
1

Para cada punto c del plano complejo, se repite la fórmula

2

Si |z| no supera 2, el punto pertenece al conjunto (se pinta negro)

3

Los demás se colorean según cuántas iteraciones tardó en escapar

¿Dónde se usa en software?

  • No Man's Sky: Genera planetas y terrenos infinitos
  • Arte generativo: Patrones únicos e impresionantes
  • Compresión fractal: Reduce tamaño de archivos
  • Antenas: Curva de Hilbert en celulares

Hacé click en cualquier punto para ver las iteraciones

Click en el fractal para explorar...
Alvaro Acevedo
Demo en Vivo

Construyendo el Conjunto de Mandelbrot

Esperando...
1

Para cada píxel, tomamos su coordenada como número complejo c

2

Repetimos z = z² + c hasta 80 veces

3

Si |z| > 2 → escapa (color según iteraciones)

4

Si nunca escapa → pertenece al conjunto (negro)

Alvaro Acevedo
Tema 4.3

Criptografía y Seguridad Informática

La criptografía moderna protege contraseñas, transacciones bancarias y comunicaciones. La computación cuántica está cambiando las reglas del juego.

!

El algoritmo de Shor (cuántico) puede romper RSA usando la Transformada Cuántica de Fourier, que trabaja con números complejos.

Para ingenieros de software: Necesitarán entender matemática compleja para diseñar sistemas seguros ante las amenazas cuánticas.

Multiplicar por z(clave) = rotar + escalar = encriptar

Alvaro Acevedo
Tema 4.4

Inteligencia Artificial

Red neuronal artificial con chip
Redes Neuronales Artificiales
Las redes neuronales complejas usan aritmética de números complejos
🧠

Redes Neuronales Complejas

Complex-Valued Neural Networks: Usan pesos y activaciones como números complejos.

  • Especialmente buenas procesando señales de radar, sonar y comunicaciones
  • Capturan información de fase que las redes reales pierden
🎙️

Preprocesamiento de Audio

Antes de que un modelo de IA pueda "escuchar" tu voz:

  • La señal de audio se transforma con la FFT (números complejos)
  • Se extraen las frecuencias
  • Sin este paso, los asistentes de voz NO funcionarían
🎤 Voz → FFT (ℂ) → Frecuencias → 🤖 Modelo IA → 💬 Respuesta
Alvaro Acevedo
Tema 4.5

Videojuegos y Gráficos 2D/3D

Un punto en pantalla tiene coordenadas (x, y). Un número complejo a + bi también tiene dos componentes. ¡Son equivalentes!

Gráficos 2D
  • Rotaciones: z · e^(iθ)
  • Escalado: z · r
  • Traslación: z + w
  • Reflexión: conjugado z̄

Usado en: Canvas HTML5, SVG, juegos 2D, Figma

Gráficos 3D (Quaterniones)
  • Extensión de complejos a 3D/4D
  • q = a + bi + cj + dk
  • Evitan "gimbal lock"

Usado en: Unity, Unreal, Blender, Meta Quest, drones

Multiplicar por e^(iθ) rota el punto θ grados

Alvaro Acevedo
Demo en Vivo

Árbol Fractal: Rotaciones en Acción

PARÁMETROS
Profundidad11
Ángulo izq θ₁45°
Ángulo der θ₂25°
Longitud tronco108
COLOR
CONJUGADO z̄
Reflejo (a − bi)

Cada rama → dos hijos

rotados con e^(iθ₁) y e^(iθ₂)

Autosimilar → fractal puro

ramas: 0 canvas: 700×500
Parte IV

Telecomunicaciones,
Robótica y Cuántica

Aplicaciones avanzadas que están definiendo el futuro de la tecnología

Expone: Julio Castillo
Julio Castillo
Tema 4.6

Telecomunicaciones y Redes

Torre de telecomunicaciones
Telecomunicaciones
Las señales 5G, WiFi y Bluetooth se describen matemáticamente con números complejos

Cada vez que enviás un mensaje de WhatsApp, hacés una videollamada o ves un video en YouTube, los datos viajan como ondas electromagnéticas descritas con números complejos.

📡
Señal 5G/WiFi
Onda compleja
→
⚙️
Modulación QAM/OFDM
a + bi → amplitud + fase
→
💻
Software: FFT inversa
Decodificación digital
→
📱
Tu App
Datos listos
WiFi 6 5G Bluetooth GPS Netflix YouTube Zoom WhatsApp IoT

Cada punto = un número complejo = datos digitales

Julio Castillo
Tema 4.7

Robótica y Sistemas de Control

La Transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales (difíciles) en ecuaciones algebraicas con números complejos (más fáciles).

Los ingenieros analizan dónde caen los "polos" y "ceros" del sistema en el plano complejo para determinar si es estable.

¿Dónde se aplica?

  • Drones y robots: Software de vuelo (PX4, ArduPilot) usa controladores PID diseñados en el plano complejo
  • Tesla, Waymo: Sistemas de control para carros autónomos
  • MATLAB/Simulink: Modela sistemas con polos y ceros complejos
  • Física de juegos: Amortiguación y oscilaciones se resuelven con raíces complejas
Brazo robótico industrial
Robótica Industrial

Respuesta del sistema: polos complejos = oscilación que se estabiliza

Julio Castillo
Tema 4.8

Computación Cuántica

IBM Quantum System One
Computadora Cuántica IBM
IBM Quantum System One: los qubits se representan con números complejos
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
donde α y β son números COMPLEJOS que cumplen |α|² + |β|² = 1
⚛️

El Qubit

Mientras un bit clásico es 0 o 1, un qubit puede ser superposición de ambos. Esta superposición se describe con números complejos.

🚀

¿Por qué importa?

  • Qiskit, Cirq, Q#: Requieren entender números complejos
  • Criptografía post-cuántica: Nuevos algoritmos de encriptación
  • Optimización: QAOA resuelve problemas complejos más rápido
  • ML cuántico: Redes neuronales + circuitos cuánticos
Qubit
α|0⟩ + β|1⟩ → Puertas Cuánticas
Matrices de ℂ → Resultado
Algoritmo de Shor, QFT
Resumen

¿Dónde se usa cada operación?

Operación Se usa en... Ejemplo real
Suma / Resta Superposición de señales Ecualizadores, filtros de audio
Multiplicación FFT, fractales, rotaciones 2D Mandelbrot, motores de juegos
División Análisis de impedancia Software embebido, IoT
Módulo |z| Espectro de frecuencias MP3, Shazam, JPEG
Conjugado Correlación de señales, división GPS, reconocimiento de patrones
Exp. compleja FFT, modulación, rotaciones Siri, Alexa, WiFi, 5G
Quaterniones Rotaciones 3D Unity, Unreal, VR, drones
Matrices complejas Puertas cuánticas, control Qiskit, PID, carros autónomos
Julio Castillo
Cierre

Conclusiones

1

Los números complejos no son un invento "inútil". Son la base matemática de tecnologías que usamos todos los días.

2

La FFT es quizás el algoritmo más importante del procesamiento digital. Sin ella no existirían MP3, JPEG ni reconocimiento de voz.

3

Los fractales demuestran que una simple fórmula compleja (z² + c) puede generar gráficos infinitamente complejos.

4

Las rotaciones 2D y 3D (quaterniones) que usan todos los motores de videojuegos son extensiones de la multiplicación compleja.

5

Las telecomunicaciones modernas (WiFi, 5G, GPS, streaming) dependen de la modulación con aritmética compleja.

6

La computación cuántica, el futuro de la tecnología, está completamente construida sobre números complejos.

"Como futuros ingenieros de software, entender las matemáticas detrás del código nos permite no solo usar herramientas, sino crear y optimizar las nuestras."
💡

¿Preguntas?

Gracias por su atención

Alvaro Acevedo
Zeniff Carderon
Julio Castillo
Noe Carrion

Matemática Básica I · UNICARIBE · Marzo 2026

Docente: Fabio Evelin Ogando Gervacio

← → Navegar M Menú F Fullscreen H Ocultar